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Booleanopera

PC*1, Lycée Louis le Grand, Paris.

Test mathjax: ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\sin (t)}{t}dt=\frac{\pi }{2}$. Soit $x\in \mathbb{R}$

Donner un exemple de série divergente dont le terme général tend vers $0$ et dont les sommes partielles sont bornées. En raisonnant sur la suite $(S_n)$ des sommes partielles, on cherche une suite bornée $(S_n)$ divergente, mais telle que $(S_n-S_{n+1})$ tende vers $0$. L'exemple de la suite $(\sin (\ln (n)))$ convient. Pour justifier que, pour ce choix, on a bien convergence de $(S_n-S_{n+1})$ vers $0$, on peut vérifier que $(\ln (n+1)-\ln (n))$ tend vers $0$, et exploiter le caractère lipschitzien de la fonction sinus.

Banque Oraux CCP MP 2016 (document extrait du site des CCP).

Banque Oraux CCP MP 2017 (document extrait du site des CCP).